Number System & Simplification: संख्या प्रणाली और सरलीकरण

Number System & Simplification: संख्या प्रणाली और सरलीकरण

Number System is the system of representing the Numbers.

दस प्रतीकों 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 को अंक कहा जाता है, जो किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।

जैसा की आप जानते है कि विभिन्न प्रकार कि संखायो को एक रेखा मे किस प्रकार निरूपित करते है

     -7  -6  -5 -4  -3  -2 -1 0 +1  +2  +3 +4 +5 +6  +7

अब आप मान लीजिये की आप जेरो से चलना प्रारम्भ करते है और + की ओर चलते है तो जो संखाए मिलेगी उन्हे प्राकृतिक संखाए कहते है इसे N से प्रदर्शित करते है

अर्थात

ये संख्याएँ (1 2 3 आदि) हैं जिनका उपयोग गिनती के लिए किया जाता है।

अब अगर इन संखायो ए साथ 0 भी ले ले तो इन संख्यायों को पूर्ण संखाए whole Numbers कहते है इन्हे W से प्रदर्शित करते है ये संखाए 0 1 2 3 4 5 ……………. आदि है। इनमे केवल धनात्मक संखाए ही होती है इनमे भिन्न fraction संखाए शामिल नहीं है

 अब अगर इनमे ऋणात्मक संखाए भी शामिल कर ले तो समस्त संख्याओ के समूह को Integers पूर्णांक कहते है इन्हे Z से प्रदर्शित करते हैं

अर्थात -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 पूर्णांक है

 Rational Numbers in Number System

अब अगर इनमे fraction भिन्न संखाए भी मिला ले तो इस समूह को Rational Numbers परिमेय संखाए कहते है इन्हे Q से प्रदर्शित करते है

 अर्थात

एक संख्या, r ’को एक परिमेय संख्या कहा जाता है, यदि इसे p/q के रूप में लिखा जा सकता है,

जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q zero नहीं हैं (¹ 0)

उदाहरण के लिए, -25 को लिखा जा सकता है

-25/1

यहाँ p = –25

और q = 1. इसलिए, परिमेय संख्याओं में प्राकृतिक संख्याएं, परिमेय संखाए एवं पूर्णांक भी शामिल हैं.

Number System: Irrational numbers अपरिमेय संख्याएँ

वे संख्याएँ जिन्हे P/Q के रूप मे नहीं प्रदर्शित कर सकते उन्हे अपरिमेय संख्याएँ कहते है

इन्हे Q से प्रदर्शित किया जाता है

प्राकृतिक संख्याएं:

• ये संख्याएँ (1, 2, 3, आदि) हैं जिनका उपयोग गिनती के लिए किया जाता है। इसे एन द्वारा निरूपित किया जाता है।

• अनंत प्राकृतिक संख्याएं हैं और सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या एक (1) है।

सम संख्याएं:

• प्राकृतिक संख्याएँ जो 2 से विभाज्य हैं, वे भी संख्याएँ हैं। इसे E से दर्शाया जाता है।

• E = 2, 4, 6, 8,…….

• सबसे छोटी सम संख्या 2 है.

कोई सबसे बड़ी संख्या भी नहीं है।

विषम संख्या:

• प्राकृतिक संख्याएं जो 2 से विभाज्य नहीं हैं, विषम संख्या हैं।

• इसे O द्वारा निरूपित किया जाता है।

• O = 1, 3, 5, 7,……..

• सबसे छोटी विषम संख्या 1 है।

• कोई सबसे बड़ी विषम संख्या नहीं है।

बाइनरी नंबर सिस्टम

एक बाइनरी नंबर सिस्टम में केवल दो अंक होते हैं जो 0 और 1. होते हैं। प्रत्येक संख्या (मान) इस संख्या प्रणाली में 0 और 1 के साथ प्रदर्शित होती है। बाइनरी नंबर सिस्टम का आधार 2 है, क्योंकि इसमें केवल दो अंक हैं।

ऑक्टल नंबर सिस्टम

ऑक्टल संख्या प्रणाली में 0 से 7. तक केवल आठ (8) अंक हैं। प्रत्येक संख्या (मूल्य) इस संख्या प्रणाली में 0,1,2,3,4,5,6 और 7 के साथ प्रतिनिधित्व करती है। ऑक्टल संख्या प्रणाली का आधार 8 है, क्योंकि इसमें केवल 8 अंक हैं।

दशमलव संख्या प्रणाली

दशमलव संख्या प्रणाली में 0 से 9. तक केवल दस (10) अंक हैं। इस संख्या प्रणाली में 0,1,2,3,4,5,6, 7,8 और 9 के साथ हर संख्या (मूल्य) का प्रतिनिधित्व करता है। दशमलव संख्या प्रणाली का आधार 10 है, क्योंकि इसमें केवल 10 अंक हैं।

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में सोलह (16) अल्फ़ान्यूमेरिक मान 0 से 9 और ए से एफ हैं। प्रत्येक संख्या (मान) 0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9, ए, बी के साथ प्रदर्शित होती है , सी, डी, ई और एफ इस संख्या प्रणाली में। हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली का आधार 16 है, क्योंकि इसमें 16 अल्फ़ान्यूमेरिक मान हैं। यहाँ A 10 है, B 11 है, C 12 है, D 13 है, E 14 है और F 15 है।

विभाज्यता के आधार पर, दो प्रकार की प्राकृतिक संख्याएँ हो सकती हैं:

Prime and Composite

1. Prime Numbers

प्राकृतिक संख्याएँ जिनके दो Factors होते हैं, अर्थात्, 1 और संख्या को ही प्रधान संख्याएँ कहा जाता है। सबसे कम अभाज्य संख्या २ है। २ केवल एकमात्र अभाज्य संख्या भी है।

2. Composite Numbers

यह एक प्राकृतिक संख्या है जिसमें कम से कम एक एक भाज्य संख्या जो 1 और उस संख्या से अलग हो

प्रत्येक मिश्रित संख्या को इसके प्रमुख कारकों में शामिल किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए: 24 = 2 × 2 × 2 × 3. इसलिए, 24 एक संयुक्त संख्या है।

सबसे छोटी मिश्रित संख्या 4 है।

Whole Number:

• संपूर्ण संख्याओं की प्रणाली से शून्य (0) के साथ प्राकृतिक संख्याएँ।

• इसे W से दर्शाया जाता है।

• कोई सबसे बड़ी संख्या नहीं है और

• सबसे छोटी whole number 0 है।

 Integers:

• संख्या प्रणाली जिसमें प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं, उनका ऋणात्मक और शून्य पूर्णांक कहलाता है।

• इसे Z या I से दर्शाया जाता है।

• सबसे छोटा और सबसे बड़ा पूर्णांक निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

वास्तविक संख्याये:

• सभी संख्याएँ जिन्हें संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है, वास्तविक संख्याएँ कहलाती हैं।

• इसे R द्वारा दर्शाया गया है।

• R +: धनात्मक वास्तविक संख्याएँ और R-: ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ।

वास्तविक संख्याएँ = परिमेय संख्याएँ + अपरिमेय संख्याएँ।

 Fraction:  एक अंश एक मात्रा है जो पूरे के एक हिस्से को व्यक्त करता है.

TYPES OF FRACTIONS:

1.  Proper fraction : यदि अंश अपने हर से कम होता है, तो यह एक proper fraction है।

2.  Improper fraction: यदि अंश अपने भाजक से अधिक या उसके बराबर है, तो यह एक improper fraction है.

3.  Mixed fraction: इसमें एक पूर्णांक और एक proper fraction होता है.

4.  Equivalent fraction/Equal fractions: Fractions with same value.

5.  Like fractions: Fractions with same denominators.

6.  Unlike fractions: Fractions with different denominators.

7.  Simple fractions: Numerator and denominator are integers.

8.  Complex fraction: Numerator or denominator or both are fractional numbers.

9.  Decimal fraction: Denominator with the powers of 10.

10. Vulgar fraction: Denominators are not the power of 10.

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